Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon.
Olkoot funktiot
ja
derivoituvia pisteessä
. Tällöin funktio
on derivoituva ja
.
Tulon derivoimissääntö voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisempaan muotoon:
.
Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan
.'
Olkoon funktio
derivoituva, ja todistetaan että
![{\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{h(x+\Delta x)-h(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c45c05ffca9d8696dc1db596cd38ecdaac4bce4)
Ilmaistaan yhtälö
funktioiden
ja
avulla
![{\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18160322a3fe6c75ff62e6cefc16ddbe518be01c)
Lisätään ja vähennetään termi
yhtälöön
ja järjestetään termit uudelleen:
![{\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164948f5b6b6cdbc1f09fb57073c644e704fd627)
![{\displaystyle =\left(\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}\right)\left(\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)\right)+f(x)\left(\lim _{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x}\right).\qquad \qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4341d554431b3484f9daa9e3e145a3ec120b3ead)
Derivaatan määritelmän perusteella
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a4ebdbc29c196534a88670077b5cad2b27bfce)
ja
.
Sen lisäksi nyt pätee
,
jolloin yhtälöstä
saadaan
.
Derivoidaan ƒ(x) = x2 sin(x). Koska x2:n derivaatta on 2x ja sin(x):n derivaatta on cos(x), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x) = 2x sin(x) + x2cos(x).
Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on
Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n:n asteen derivaatalle:
![{\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1954e370f762ec48b1ad5baa2381ccd85c04da)
Katso myös binomilause and binomikerroin.