Arkhimedeen lause

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Tämä artikkeli käsittelee reaali- ja kokonaislukuja koskevaa Arkhimedeen lausetta. Geometriassa Arkhimedeen lause tarkoittaa katkaistun jänteen lausetta.
Reaaliluvun B ja kokonaisluvun A suuruudet on ilmaistu janan pituuksilla. Kokonaisluvun A moninkerrat ovat myös kokonaislukuja, joten latomalla peräkkäin lukujen A janoja saadaan lopulta niin pitkä kokonaisluvun nA jana, että se on pitempi jana (luku) kuin reaaliluvun B jana eli lukuina ilmaistuna nA > B.

Reaalilukuja koskevan Arkhimedeen lauseen mukaan jokaista reaalilukua r kohtaan löydetään positiivinen kokonaisluku k siten, että

.

Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla ja jotain sen ylärajaa symbolilla , ja määritellään . Koska joukko on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman nojalla pienin yläraja eli supremum, . Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon alkio siten että . Tällöin on joukon maksimi. Mikäli ei olisi maksimi, niin olisi olemassa kokonaisluku siten, että . Tämä on ristiriita, koska kaikilla . Täten siis on joukon maksimi.

Mikäli , niin 1 on (triviaalisti) haluttu luku . Oletetaan siis, että . Olkoon nyt joukko , jolloin on ylhäältä rajoitettu. Edellä todistetun lauseen nojalla joukolla on maksimi. Merkitään ja valitaan . Nyt ei voi kuulua :ään, joten .

Arkhimedeen lauseen korollaari: jokaista positiivista reaalilukua kohtaan on olemassa luonnollinen luku siten, että .

Olkoon reaaliluku. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku siten, että , mikä on yhtäpitävää epäyhtälön kanssa.

Seurauslauseita

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden erisuuren reaaliluvun välissä on aina rationaaliluku ja irrationaaliluku ja molempia vieläpä äärettömän monta eli .

Merkitään . Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku siten, että . Joukolla on olemassa minimiarvo. Merkitään . Nyt ei kuulu joukkoon ja pätee , joka on yhtäpitävää epäyhtälön kanssa. Pätee myös , joten . Täten ja on etsitty rationaaliluku.

Osoitetaan, että tällaisia rationaalilukuja on olemassa äärettömän monta. Todistetaan induktiolla, että löydetään halutunlaisia lukuja mikä tahansa lukumäärä .

Alkuaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku siten, että .

Induktio-oletus: lukuja, jotka täyttävät ehdon , jossa , on olemassa määrä. Tosin sanoen pätee .

Induktioaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku siten, että .

Täten haluttuja lukuja löydetään määrä valittiinpa tämä luku miten suureksi tahansa, sillä nyt pätee .

Etsitään seuraavaksi lukujen ja välistä irrationaaliluku:

Tämä voidaan tehdä monella tavalla. Esimerkiksi edellä todistetun lauseen nojalla löydetään rationaaliluvut ja siten, että . Merkitään eli . Nyt ilmiselvästi pätee ja on irrationaaliluku. Yllä olevan kaltaisella induktiolla osoitetaan, että halutunlaisia irrationaalilukuja on olemassa ääretön määrä.