Kategoria (matematiikka)

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kategoria, jossa on kolme objektia , ja , pakolliset identiteettimorfismit, täsmälleen yksi morfismi :sta :hen (), täsmälleen yksi morfismi :stä :hen () sekä näiden yhdiste .

Matematiikassa, kategoria on rakenne, joka koostuu objekteista sekä objektien välisistä morfismeista. Keskeistä on kahden "peräkkäisen" morfismin yhdisteen olemassaolo: jos on morfismi objektista objektiin ja morfismi objektista objektiin niin silloin on olemassa yhdistetty morfismi objektista objektiin .

Suuri osa matematiikassa tutkittavista rakenteista voidaan nähdä kategorioina, mistä tunnetuin esimerkki lienee joukkojen ja funktioiden muodostama kategoria. Esimerkit eivät kuitenkaan rajoitu tähän, vaan kategorioita voidaan tutkia myös abstraktimmalla tasolla, ilman että oletetaan taustalla olevaa muuta matemaattista rakennetta. Matematiikan osa-alue, joka tutkii kategorioita, on kategoriateoria.

Määritelmä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kategoria koostuu seuraavista:[1] [2] [3] [4]

  • luokka objekteja, jota merkitään ;
  • jokaiselle objektiparille , luokka morfismeja :sta :hen, jota merkitään tai ; morfismia merkitään yleisesti , ja objekteja ja kutsutaan morfismin lähtö- ja maaliobjektiksi; luokkaa, joka koostuu kaikista :n morfismeista merkitään ;
  • jokaiselle objektille on olemassa identiteettimorfismi ;
  • jokaiselle morfismiparille ja siten että :n maaliobjekti on sama kuin :n lähtöobjekti on olemassa yhdiste

siten että kaksi ehtoa pätevät:

  • liitäntälaki: kaikille morfismeille , ja pätee
,
  • identiteettilaki: kaikille morfismeille pätee
ja .

Liitäntälain perusteella sulkeet voidaan jättää merkitsemättä useiden peräkkäisten yhdisteiden sarjassa. Yhdisteen symboli jätetään usein merkitsemättä, ja yhdiste merkitään tällöin . Identiteettilain seurauksena jokaisen objektin identiteettimorfismi on yksikäsitteinen: jokaiselle objektille on olemassa täsmälleen yksi morfismi, jolle identiteettilaki pätee.[5]

Peruskäsitteitä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kategoria on[6]

  • pieni, jos on joukko (eikä siis aito luokka),
  • suuri, jos se ei ole pieni,
  • lokaalisti pieni, jos jokainen on joukko,
  • äärellinen, jos on äärellinen joukko
  • lokaalisti äärellinen, jos jokainen on äärellinen joukko,[7]
  • diskreetti, jos jokainen morfismi on identiteettimorfismi.

Erityisiä objekteja

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jonkin kategorian objekti on[8]

  • alkuobjekti, jos jokaiselle objektille on olemassa täsmälleen yksi morfismi ,
  • loppuobjekti, jos jokaiselle objektille on olemassa täsmälleen yksi morfismi ,
  • nollaobjekti, jos on sekä alku- että loppuobjekti.

Erityisiä morfismeja

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jonkin kategorian morfismi on[8]

  • monomorfismi, jos kaikille morfismeille , joille pätee ,
  • epimorfismi, jos kaikille morfismeille , joille pätee ,
  • nollamorfismi, jos kategoriassa on nollaobjekti , ja , jossa ja ovat nollaobjektin yksikäsitteisiä morfismeja,
  • isomorfismi, jos on olemassa morfismi siten että ja ; morfismia sanotaan tällöin :n käänteismorfismiksi; sillä jokaiselle morfismille on olemassa korkeintaan yksi käänteismorfismi, sitä voidaan yksiselitteisesti merkitä , mikäli se on olemassa.

Jokainen isomorfismi on sekä mono- että epimorfismi,[9] muttei käänteisesti: on olemassa kategorioita, joissa morfismi voi olla mono- ja epimorfismi muttei isomorfismi (esimerkiksi topologiset avaruudet).

Jokainen identiteettimorfismi on isomorfismi, joka on itse oma käänteismorfisminsa.[9] Isomorfismia, jonka lähtöobjekti on sama kuin maaliobjekti kutsutaan joskus automorfismiksi.[9]

Kategoria on hyvin perustavanlaatuinen käsite, joten esimerkkejä kategorioista löytyy lähes jokaiselta matematiikan osa-alueelta. Näin ollen seuraava esimerkkilista on väistämättä puutteellinen, mutta se kuvaa hyvin kuinka yleisestä käsitteestä on kyse. Kussakin esimerkissä on ensiksi annettu objektien luokka ja toiseksi morfismien luokka:

Kaikissa yllä listatuissa esimerkeissä kategorian rakenne muodostuu joukoista, joilla on määritelty jokin rakenne, kuten ryhmä tai topologia (objektit) ja tämän rakenteen säilyttävistä funktioista (morfismit). Alla on joitakin esimerkkejä, jossa näin ei ole.

Kategorioita voidaan myös käyttää muiden matemaattisten käsitteiden määrittelyyn, esimerkiksi:

  • monoidi on (lokaalisti pieni) kategoria, jossa on täsmälleen yksi objekti (morfismit nähdään tällöin monoidin alkioina),[10]
  • grupoidi on kategoria, jossa jokainen morfismi on isomorfismi,[11]
  • ryhmä on (lokaalisti pieni) kategoria, jossa on täsmälleen yksi objekti ja jokainen morfismi on isomorfismi,[11]
  • esijärjestys on (pieni) kategoria, jossa jokaisen järjestetyn objektiparin välillä on enintään yksi morfismi,[12]
  • osittain järjestetty joukko on (pieni) kategoria, jossa minkä tahansa kahden objektin välillä on enintään yksi morfismi.[12]
  1. Niskanen, s. 13
  2. Alakoskela, s. 7
  3. Leinster, s. 10
  4. Riehl, s. 3
  5. Niskanen, s. 14
  6. Niskanen, s. 15-16
  7. nLab. Finite category. Viitattu 20.8.2021. (englanniksi)
  8. a b Niskanen, s. 16
  9. a b c Niskanen, s. 17
  10. Leinster, s. 77
  11. a b Riehl, s. 7
  12. a b Alakoskela, s. 8